Sujet 0, 2021

Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de $225$ °C.
On s'intéresse à l'évolution de la température d'une baguette après sa sortie du four.
On admet qu'on peut modéliser cette évolution à l'aide d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0;+\mathrm{\infty }[$ .

Dans cette modélisation, $f(t)$ représente la température en degrés Celsius de la baguette au bout de la durée $t$ , exprimée en heures, après la sortie du four.
Ainsi, $f(0,5)$ représente la température d'une baguette une demi-heure après la sortie du four.

Dans tout l'exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à $25$ °C.
On admet alors que la fonction  $f$ est solution de l'équation différentielle $y^{\prime }+6y=150$ .

1. a. Préciser la valeur de $f(0)$ .
     b. Résoudre l'équation différentielle $y^{\prime }+6y=150$ .
     c. En déduire que, pour tout réel $t⩾0$ , on a $f(t)=200{\text{e}}^{-6t}+25$ .

2. Par expérience, on observe que la température d'une baguette sortant du four :

• décroît ;
• tend à se stabiliser à la température ambiante.

La fonction $f$ fournit-elle un modèle en accord avec ces observations ?

3. Montrer que l'équation $f(t)=40$ admet une unique solution dans $[0;+\mathrm{\infty }[$ .

Pour mettre les baguettes en rayon, le boulanger attend que leur température soit inférieure ou égale à $40$ °C. On note ${\mathcal{T}}_0$ le temps d'attente minimal entre la sortie du four d'une baguette et sa mise en rayon.
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

4. Avec la précision permise par le graphique, lire ${\mathcal{T}}_0$ . On donnera une valeur approchée de ${\mathcal{T}}_0$ sous forme d'un nombre entier de minutes.

5. On s'intéresse ici à la diminution, minute après minute, de la température d'une baguette à sa sortie du four.
Ainsi, pour un entier naturel $n$ , ${\mathcal{D}}_n$ désigne la diminution de température en degré Celsius d'une baguette entre la $n$ -ième et la $n+1$ -ième minute après sa sortie du four.
On admet que, pour tout entier naturel $n$ ,  ${\mathcal{D}}_n=f\left({\displaystyle \frac{n}{60}}\right)-f\left({\displaystyle \frac{n+1}{60}}\right)$ .
    a. Vérifier que $19$ est une valeur approchée de ${\mathcal{D}}_0$ à 0,1 près, et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
    b. Vérifier que l'on a, pour tout entier naturel $n$ ,  ${\mathcal{D}}_n=200{\text{e}}^{-0,1n}(1-{\text{e}}^{-0,1})$ . En déduire le sens de variation de la suite $\left({\mathcal{D}}_n\right)$ , puis la limite de la suite $\left({\mathcal{D}}_n\right)$ . Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l'exercice ?