Sujet 0, 2021

Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de `225` °C.
On s'intéresse à l'évolution de la température d'une baguette après sa sortie du four.
On admet qu'on peut modéliser cette évolution à l'aide d'une fonction \(f\) définie et dérivable sur l'intervalle \([0;+\infty[\) .

Dans cette modélisation, \(f(t)\) représente la température en degrés Celsius de la baguette au bout de la durée \(t\) , exprimée en heures, après la sortie du four.
Ainsi, \(f(0,\!5)\) représente la température d'une baguette une demi-heure après la sortie du four.

Dans tout l'exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à \(25\) °C.
On admet alors que la fonction  \(f\) est solution de l'équation différentielle \(y'+ 6y = 150\) .

1. a. Préciser la valeur de \(f(0)\) .
     b. Résoudre l'équation différentielle \(y'+6y = 150\) .
     c. En déduire que, pour tout réel \(t\geqslant 0\) , on a \(f(t) = 200 \text e^{-6t}+25\) .

2. Par expérience, on observe que la température d'une baguette sortant du four :

• décroît ;
• tend à se stabiliser à la température ambiante.

La fonction \(f\) fournit-elle un modèle en accord avec ces observations ?

3. Montrer que l'équation \(f(t) = 40\) admet une unique solution dans \([0~;+\infty[\) .

Pour mettre les baguettes en rayon, le boulanger attend que leur température soit inférieure ou égale à \(40\) °C. On note \(\mathcal{T}_0\) le temps d'attente minimal entre la sortie du four d'une baguette et sa mise en rayon.
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal.

4. Avec la précision permise par le graphique, lire \(\mathcal{T}_0\) . On donnera une valeur approchée de \(\mathcal{T}_0\) sous forme d'un nombre entier de minutes.

5. On s'intéresse ici à la diminution, minute après minute, de la température d'une baguette à sa sortie du four.
Ainsi, pour un entier naturel \(n\) , \(\mathcal{D}_n\) désigne la diminution de température en degré Celsius d'une baguette entre la \(n\) -ième et la \(n+1\) -ième minute après sa sortie du four.
On admet que, pour tout entier naturel \(n\) ,  \(\mathcal{D}_n=f\left(\dfrac{n}{60}\right)-f\left(\dfrac{n+1}{60}\right)\) .
    a. Vérifier que \(19\) est une valeur approchée de \(\mathcal{D}_0\) à 0,1 près, et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
    b. Vérifier que l'on a, pour tout entier naturel \(n\) ,  \(\mathcal{D}_n=200 \text e^{-0,1n}(1 - \text e^{-0,1})\) . En déduire le sens de variation de la suite \(\left(\mathcal{D}_n\right)\) , puis la limite de la suite \(\left(\mathcal{D}_n\right)\) . Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l'exercice ?